早上7点起来,猴哥说他在想最简单的四维体投射到三维空间的正投体和侧投体。思考和讨论之后得到一些结论,觉得很有趣,就记下来。
最简单的正四维体
先从我们最熟悉的二维、三维开始考虑。
最简单的正二维体是正三角形,由三条一维的直线围成,三个顶点;最简单的正三维体是正三棱锥,由四个二维的正三角围成,四个顶点;然后,最简单的正四维体,由五个三维的正三棱锥围成,五个顶点
猴哥说:封闭体的截面也是封闭的。(由这条可以推导出上面三个结论)
同时,可推测出最简单的正四维体的三截体(三维体的叫截面,所以我给四维的截体取了这个名字)是正三棱锥。
总结:最简单的正四维体有五个顶点,由五个三维的正三棱锥围成,三截体为正三棱锥。
正投体
任意维体投射到其维度的低维空间时,该维体的顶点个数是不变的,只是有时候有的顶点重合在其它的顶点上或者边上,看不见了而已。
四维和三维二维一样,也有垂直的概念。从垂直于正四维体中某个正三椎体所在的三维空间的方向投影正四维体,这个正三椎体投到它所在的三维空间的投体是它本身,也就有了四个顶点,第五个顶点会投到哪个地方呢?我画了个很恶心的图,如下

ABCD组成的是正三椎体投射到它所在三维空间的投体,E是第五个顶点投射到该三维空间的位置,是在正三棱锥的重心位置。
假设原四维体是ABCDF,将其投射到ABCD所在的三维空间,投射体为上图中的ABCDE。五个三椎体的投射情况分别是,ABCD投射到ABCD,ABCF投射到ABCE,ABDF投射到ABDE,ACDF投射到ACDE,BCDF投射到BCDE。ABCD由于是投射到它所在的三维空间,所以仍是它本身,而ABCF是从一个三维空间投射到另一个三维空间,投射体就变成了ABCE。再看,ABCE、ACDE、ABDE、BCDE是形状相同的三椎体,因为原本的四个正三棱锥所在的三维空间和ABCD所在三维空间的角度都是相同的,它们的形状原本也是相同的,所以投射到ABCD三维空间后,其形状仍然相同,这证明了此投射猜想的正确性。
侧投体
正投其实算是侧投的特殊情况,我们再来考虑一种特殊情况。考虑将某个正三棱锥投射到与它所在三维空间垂直的三维空间,该三棱锥的投射体重合成一个面了。于是,我们就得到了一个特殊的侧投体,仍然是ABCDE五个顶点,ABCD组合成一个三棱锥,E在这个三棱锥的某个面上。
考虑一般情况下的侧投的时候,可以从两个角度进行考虑:
- 将最简单的正四维体分解为五个正三维体,分别考虑它们投射到某个三维空间的情况
- 最简单的正四维体的三截体是三棱锥,这样考虑简单了许多
就考虑到这里吧,还要做毕设什么的。最后总结和联想一下。
思考四维的方法
- 很多二维、三维的概念在高维中也是可用的,比如垂直
- 很多二维、三维的概念稍作修改,也是可用的,比如截面、三截体
- 类比二维、三维的情况,这样来考虑四维就容易多了
联想
由于高维的存在,所以所谓的平行空间是存在的,还有交叉的各种空间,我会不会一不小心从我所在的空间走到了里给你一个空间?
想起了前段时间看过的三体,记得里面说过这样的话,假设有只蚂蚁生活在二维空间,它只能在一条线上生活,它是感受不到三维空间的存在的。作为四维空间的人,我想五维或者更高维空间里的会不会有个怪物像看蚂蚁一样的在看我,看我不爽的时候,它就从我看不见的地方伸出一只手来掐我……
尾注:没有理论基础的想法总是很幼稚的,请访客不吝指正。